Rzut poziomy – niech żyje parabola!

Kulka wyrzucana jest poziomo z pewną prędkością. Chciałbym Ci pokazać matematycznie, że torem ruchu kulki jest parabola, o ile oczywiście pominiemy opory ruchu.

Co będzie potrzebować?

  1. Wiedzę, o co chodzi z tym rzutem poziomym.
  2. Wiedzę, jak zapisać położenie ciała w ruchu jednostajnym i jednostajnie przyspieszonym.
  3. Program desmos.com ( https://www.desmos.com )
  4. Wiedzę na temat funkcji kwadratowej.
Rzut poziomy (chwila początkowa)

Ad 1. W rzucie poziomym bez oporu ruchu ruch ciała można “rozłożyć” na dwa ruchy: w poziomie i w pionie. Możesz sobie wyobrazić, że na ścianie pionowej i na podłodze widać cienie kulki – położenie kulki odpowiada położeniu obu cieni. Każdy z tych cieni porusza się niezależnie od drugiego, choć oba dotyczą ruchu tej samej kulki.

Ad 2. Cień na podłodze porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Jego ruch opisuje wzór: $$x(t)=vt$$ \(v\) to prędkość pozioma kulki, a \(t\) to czas.

Ruch cienia na ścianie pionowej opisuje równanie $$y(t)=h – \frac{1}{2}gt^2$$ Wyjaśnienie symboli: \(h\) to wysokość, z której wyrzucamy kulkę, \(g\) to przyspieszenie ziemskie, przyjmiemy, że \(g=10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)

Ad 3. W programie desmos.com należy wpisać wielkości, jak poniżej.

Dane do rzutu poziomego.

Jak interpretować te dane liczbowe?

Kulkę wyrzucono z prędkością \(25\) m/s z wysokości \(20\) m.

Zwróć uwagę, że \(0\leq t \leq 2\), co oznacza, że ruch trwa \(2\) sekundy – może trwać dłużej – wtedy kulka spadnie poniżej poziomu zero. Sprawdź! Zachęcam 🙂

Otrzymamy tor ruchu kulki:

Ad 4. Jeśli to jest parabola, to pewnie ma dwa miejsca zerowe: \(50\) oraz \(-50\). Zatem jej wzór będzie podobny do $$-(x-50)(x+50)$$

Jest to postać iloczynowa funkcji kwadratowej. Dla \(x=0\) funkcja ta powinna przyjmować wartość \(20\).

Trzeba by ten wzór nieco zmodyfikować. Najpierw przekształćmy: $$-(x-50)(x+50)=-\left(x^2-2500\right)=2500-x^2$$ Teraz widać, że dla \(x=\) funkcja ta przyjmuje wartość \(2500\).

Ponieważ \(2500 : 20 = 125\), więc można spróbować taki wzór: $$\frac{1}{125}\left( 2500-x^2\right)$$ Wpisz teraz:

Efekt?

Z otrzymanych wykresów można uzyskać informacje, o tym

  1. jak długo trwał spadek na poziom zero
  2. jak daleko poleciała kulka (zasięg rzutu)

Możemy sterować rzutem kulki , zmieniając jej prędkość i wysokość:

We wskazane miejsca można kliknąć, aby zmienić zakresy.

Wykres dla podanych wielkości:

Poeksperymentuj samodzielnie. Naucz się odczytywać czas spadku i zasięg rzutu. Powodzenia! 🙂