Ruch po obrotowej scenie

Ruch obrotowy sprawia nam wiele problemów. Dlatego dobrze jest ćwiczyć umysł i wypracowywać porządne intuicje.

A oto problem. Aktor, który stał na środku obrotowej sceny, porusza się ze stałą szybkością (względem sceny) w kierunku jej obrzeża. Należy narysować tor jego ruchu.

W układzie odniesienia związanym z (obracającą się) sceną torem ruchu jest odcinek, taki jak pokazany poniżej.

Układ odniesienia: scena. [Źródło: desmos.com]

Jak będzie wyglądać tor ruchu aktora z punktu widzenia widowni? Aktor idzie tak samo – ze środka \(O\) ku brzegowi. Widownia widzi, że scena się obraca, więc aktor z jej punktu widzenia będzie szedł po pewnej krzywej. Pokażę Ci, jak ją narysować w programie desmos.com.

Załóżmy, że scena obraca się z prędkością kątową \(\omega\), a szybkość (linowa) aktora względem sceny wynosi \(v\). Po chwili \(t\) aktor znajdzie się w punkcie \(P\), co pokazano na poniższym rysunku

Układ odniesienia: widownia. Położenie aktora w chwili t. [Źródło: desmos.com]

Jeśli znasz trygonometrię, to jest dość łatwo wyznaczyć współrzędne punktu \(P\).

Pokażę, jak to zrobić, krok po kroku. Długość odcinka \(OP\) wynosi \(vt\).

Układ odniesienia: widownia. Położenie aktora w chwili t. [Źródło: desmos.com]

Współrzędna \(x\)-owa będzie odpowiadać odcinkowi \(OM\). Stosunek długości odcinka \(OM\) do długości odcinka \(OP\) to kosinus kąta \(\varphi\): $$\cos\varphi=\frac{OM}{OP}=\frac{x(t)}{vt}$$ Stąd $$x(t)=vt \cos\varphi$$

Z kolei współrzędna \(y\)-owa punktu \(P\) odpowiadać będzie odcinkowi \(MP\). Stosunek długości odcinka \(PM\) do długości odcinka \(OP\) to sinus kąta \(\varphi\): $$\sin\varphi=\frac{OM}{OP}=\frac{x(t)}{vt}$$ Stąd $$x(t)=vt \sin\varphi$$

Potrzebujemy jeszcze związku między kątem \(\varphi\) a prędkością kątową \(\omega\) . Ten związek jest prosty: po czasie \(t\) scena z aktorem obróci się o kąt $$ \varphi = \omega t$$ Ostatecznie otrzymujemy $$x(t)=vt \cos \omega t $$ $$x(t)=vt \cos \omega t $$

Aby narysować tor ruchu w desmosie potrzebujemy przykładowych danych. Niech \(v=0,8 \frac{\text{m}}{\text{s}}\), zaś \(\omega=0,5 \frac{\text{rad}}{\text{s}}\). rad to miara łukowa kata, odpowiada ona mniej więcej \(57,3^o\). Jeśli nie wiesz, co to jest, możesz to na razie zignorować.

Teraz w programie desmos.com należy wprowadzić dane, jak pokazano niżej:

Pierwsze równanie rysuje okrąg (obrzeże obrotowej sceny, o promieniu \(8\)). Drugie równanie rysuje spiralę:

Mam nadzieję, że Tobie też się udało.

Czas na zabawę, czyli eksperymenty matematyczno-fizyczne 🙂

Zabawa 1. Będziemy “sterować” szybkością aktora względem sceny oraz prędkością obrotową sceny. W tym celu zamiast konkretnych liczb trzeba wpisać parametry, jak to pokazałem poniżej:

Prędkości obrotowej odpowiada parametr \(q\). Za pomocą suwaka możemy sterować szybkością aktora i prędkością obrotową sceny.

Pytania do rozwikłania:

  1. Ile razy obróci się scena aż aktor ją opuści?
  2. Po jakim czasie aktor opuści scenę?
  3. Jaką drogę przebędzie aktor?

Ad 1 i 2. Dość łatwo na te pytania odpowiedzieć, wystarczy coś zauważyć.

Ad 3. Odpowiedź na to pytanie wymaga obliczenia trudnej całki. Gotowe wzory można znaleźć w internecie pod hasłem długość spirali Archimedesa.

Zabawa 2. Możemy sprawić, by aktor biegł z przyspieszeniem. W tym celu jego szybkość powinna zależeć od \(t^2\), na przykład:

Aktor może mieć pewną prędkość początkową:

Możesz popróbować z innymi wzorami. Co Cię ogranicza? Miłej zabawy!