Ruch obrotowy sprawia nam wiele problemów. Dlatego dobrze jest ćwiczyć umysł i wypracowywać porządne intuicje.
A oto problem. Aktor, który stał na środku obrotowej sceny, porusza się ze stałą szybkością (względem sceny) w kierunku jej obrzeża. Należy narysować tor jego ruchu.
W układzie odniesienia związanym z (obracającą się) sceną torem ruchu jest odcinek, taki jak pokazany poniżej.
Jak będzie wyglądać tor ruchu aktora z punktu widzenia widowni? Aktor idzie tak samo – ze środka \(O\) ku brzegowi. Widownia widzi, że scena się obraca, więc aktor z jej punktu widzenia będzie szedł po pewnej krzywej. Pokażę Ci, jak ją narysować w programie desmos.com.
Załóżmy, że scena obraca się z prędkością kątową \(\omega\), a szybkość (linowa) aktora względem sceny wynosi \(v\). Po chwili \(t\) aktor znajdzie się w punkcie \(P\), co pokazano na poniższym rysunku
Jeśli znasz trygonometrię, to jest dość łatwo wyznaczyć współrzędne punktu \(P\).
Pokażę, jak to zrobić, krok po kroku. Długość odcinka \(OP\) wynosi \(vt\).
Współrzędna \(x\)-owa będzie odpowiadać odcinkowi \(OM\). Stosunek długości odcinka \(OM\) do długości odcinka \(OP\) to kosinus kąta \(\varphi\): $$\cos\varphi=\frac{OM}{OP}=\frac{x(t)}{vt}$$ Stąd $$x(t)=vt \cos\varphi$$
Z kolei współrzędna \(y\)-owa punktu \(P\) odpowiadać będzie odcinkowi \(MP\). Stosunek długości odcinka \(PM\) do długości odcinka \(OP\) to sinus kąta \(\varphi\): $$\sin\varphi=\frac{OM}{OP}=\frac{x(t)}{vt}$$ Stąd $$x(t)=vt \sin\varphi$$
Potrzebujemy jeszcze związku między kątem \(\varphi\) a prędkością kątową \(\omega\) . Ten związek jest prosty: po czasie \(t\) scena z aktorem obróci się o kąt $$ \varphi = \omega t$$ Ostatecznie otrzymujemy $$x(t)=vt \cos \omega t $$ $$x(t)=vt \cos \omega t $$
Aby narysować tor ruchu w desmosie potrzebujemy przykładowych danych. Niech \(v=0,8 \frac{\text{m}}{\text{s}}\), zaś \(\omega=0,5 \frac{\text{rad}}{\text{s}}\). rad to miara łukowa kata, odpowiada ona mniej więcej \(57,3^o\). Jeśli nie wiesz, co to jest, możesz to na razie zignorować.
Teraz w programie desmos.com należy wprowadzić dane, jak pokazano niżej:
Pierwsze równanie rysuje okrąg (obrzeże obrotowej sceny, o promieniu \(8\)). Drugie równanie rysuje spiralę:
Mam nadzieję, że Tobie też się udało.
Czas na zabawę, czyli eksperymenty matematyczno-fizyczne 🙂
Zabawa 1. Będziemy „sterować” szybkością aktora względem sceny oraz prędkością obrotową sceny. W tym celu zamiast konkretnych liczb trzeba wpisać parametry, jak to pokazałem poniżej:
Prędkości obrotowej odpowiada parametr \(q\). Za pomocą suwaka możemy sterować szybkością aktora i prędkością obrotową sceny.
Pytania do rozwikłania:
- Ile razy obróci się scena aż aktor ją opuści?
- Po jakim czasie aktor opuści scenę?
- Jaką drogę przebędzie aktor?
Ad 1 i 2. Dość łatwo na te pytania odpowiedzieć, wystarczy coś zauważyć.
Ad 3. Odpowiedź na to pytanie wymaga obliczenia trudnej całki. Gotowe wzory można znaleźć w internecie pod hasłem długość spirali Archimedesa.
Zabawa 2. Możemy sprawić, by aktor biegł z przyspieszeniem. W tym celu jego szybkość powinna zależeć od \(t^2\), na przykład:
Aktor może mieć pewną prędkość początkową:
Możesz popróbować z innymi wzorami. Co Cię ogranicza? Miłej zabawy!