Jak myśleć żeby wymyślać

W matematyce wszystko już wymyślono?

Myślenie matematyczne jest tylko dla geniuszy? Tak uważa wiele osób  i uzupełnia, że zwykły człowiek w matematyce nie ma już czego wymyślać, że niczego nie wymyśli, gdyż do tego potrzeba rozległej wiedzy matematycznej, niezwykłych umiejętności i pomysłowości. Ale przecież nie chodzi tylko o to, by wymyślać oryginalne twierdzenia, wzory czy dowody – raczej by odkryć w matematyce coś nowego, co być może już inni odkryli (a być może nie), co jest ciekawe, zastanawiające, praktyczne czy estetyczne.

Co do jednego – zgoda – trzeba mieć dużą wiedzę, spore umiejętności matematyczne i być kreatywnym, by mieć szansę odkryć zupełnie nowe, doniosłe twierdzenie matematyczne, dowód hipotezy czy przykład, który obala hipotezę. Nie trzeba jednak rzucać się na szerokie wody i stwierdzać, że samo wymyślanie „nowej’ matematyki jest za trudne. Małe rzeczy też mogą sprawiać dużo radości. A poza tym, mogą być świetną podstawą w wymyślaniu rzeczy już całkiem poważnych, dorosłych… Kreatywności się uczy. Pewien zalążek pomysłowości mamy. To cecha – chyba – przynależna gatunkowi ludzkiemu. Mamy pomysły i tyle, a czasami nie mamy pomysłów i też nie wiemy czemu. Trudno nawet wybitnemu twórcy odpowiedzieć na pytanie, skąd ma pomysły. Po prostu ma i już. ALE – by mieć dużo pomysłów, trzeba ćwiczyć pomysłowość.

Jak ćwiczyć?

Po pierwsze, powinna być atmosfera sprzyjająca pomysłowości. Taka atmosfera cechuje się otwartością na pomysły, dostrzeganiu w każdym pomyśle zwariowanym czy takim sobie jakiegoś pierwiastka odkrywczości i niezwykłości. W takiej atmosferze jest duuużo żartów i śmiechu. Żarty pozwalają spojrzeć na te same, znane tematy w inny sposób, zabawny, komiczny… Śmiech lepiej dotlenia mózg, daje większą swobodę w wymyślaniu, odwagę w pomysłach – „to tylko żart”, – można się bronić przed zbyt krytycznym atakiem…

Po drugie, pewne nakierowanie myśli, skupienie się na problemie – jednak! Całkowita swawola nie wpływa pozytywnie na kreatywność. Wymyślać można prawie wszystko, ale nie wszystko ma sens. Paradoksalnie wiele dobrych, twórczych idei pojawia się pod wpływem presji czasu i oczekiwania dobrej jakości rozwiązania. Pomysły wymagają pewnych ograniczeń, trzeba je odnosić do jednego tematu, zagadnienia. Trzeba szukać skojarzeń wśród znanych własności, twierdzeń, wzorów, figur, pojęć i tak dalej. Te nowe skojarzenia dają nową jakość  w rozumieniu matematycznym.

Po trzecie, dobra równowaga między otwartością na pomysły wszelkiego rodzaju a skupieniem na rozwiązaniu konkretnego problemu. Pomysłowość sama dla siebie nie jest ani czymś korzystnym, ani niekorzystnym.  Podobnie skupienie się na problemie, nakierowanie uwagi na trudność niekoniecznie wyzwoli potencjał twórczy. Potrzebna jest mieszanka obu tych czynników – w zrównoważony sposób. Jak to może wyglądać w praktyce? Trochę uwag na zasadzie skojarzeń, luźnych, być może żartobliwych, odwołanie się do problemu, potraktowanie luźnych pomysłów jako wskazówek, doprecyzowanie ich, szukanie nowych skojarzeń, być może odległych i znów powrót do problemu…

Myślenie matematyczne – tylko dla wybranych?

Jak zauważają G. Dryden i  J, Vos. w książce  Rewolucja w uczeniu, Zysk i S-ka, 2003, str. 209:

(…) Większość ludzi nieświadomie ogranicza swoje możliwości myślenia. Jedną z przyczyn jest skłonność naszego umysłu do wpasowywania nowych informacji w już istniejące schematy.

Kilka słów usprawiedliwienia takiego podejścia. Tak jesteśmy uczeni matematyki: regułki do wykucia, wzory wo wyklepania, twierdzenia cytowane bez namysłu.

Jak wymyślać nowe własności figur?

Dla przykładu, co by to miało znaczyć, że twierdzenie Pitagorasa jest fałszywe? Twierdzenie to twierdzenie. Skoro twierdzenie Pitagorasa jest określane jako twierdzenie, to musi być prawdziwe. Koniec dowodu. Jakieś pytania?

A może by pomyśleć o właściwości pitagorejskiej: suma kwadratów krótszych boków trójkąta jest równa kwadratowi najdłuższego boku. Wtedy można się przekonać – nawet na wybranych przykładach – że taką własność mają pewne trójkąty. To pozwala postawić kilka hipotez…

Zajęcia kreatywne wymyślać matematyka trójkąty pitagorejskie myślenie matematyczne korepetycje Bielsko-Biała

 

A czy w potędze musi być być 2? A co by było, gdyby było 1 albo 3? Czy to ma jakiś związek z wymiarem przestrzeni? Pytań może się nasunąć wiele: Czy taka własność pitagorejska to jakaś szczególna własność liczb? Może by coś tu poszukać?

Jak wymyślać nowe rozumienie starych pojęć?

Inny przykład: koła. Jak wygląda koło, każdy wie… Ale gdyby ludzie chodzili według pewnych reguł… Jakich reguł? Ciekawe… jakie to mogą być reguły… Co dla ludzi było dawniej ważne? Gdzie się ludzie osiedlali? Jaki by to miało wpływ na to, jak się poruszali? Pofantazjujmy troszkę… Może w tym dziwnym, starożytnym – nieistniejącym świecie koła wyglądały jak kwadraty? Jak to?

Odległość w matematyce wymyślać zajęcia kreatywne myślenie matematyczne Bielsko Biała

Jaki tu jest problem? Otóż trzeba sobie uświadomić, uprzytomnić, przypomnieć, odkryć, co to jest okrąg. W określeniu okręgu pojawi się słowo klucz – odległość. Co to jest odległość? Jak mierzenie odległości zależy od sposobu przemieszczania się? (Czy masz skojarzenia z STW?) Po twórczym rozpracowaniu tematu i ścisłym definicjom i ustaleniom można uzyskać takie koła jak na rysunku, ale nie tylko. Jedyne ,co ogranicza, to wyobraźnia…

Takich i wiele innych – mnóstwo! – rzeczy jest do odkrycia. Dzięki takim „zabawom” i „spekulacjom” jest się w samym rdzeniu matematyki. Takie właśnie problemy, niby dziecięce, niby nie na poważne są istotą myślenia matematycznego.

Odkrywanie „nowej” matematyki nie jest tylko dla utalentowanych, dla geniuszy, dla piątkowiczów… To tak samo, jakby powiedzieć, ze rysować mogą tylko ludzie z duszą artysty….

Czy są sposoby na odkrywanie matematyki?

Ktoś by mógł powiedzieć, że gdyby takie sposoby były, ludzie by już dawno wszystko poodkrywali, a podobno pojawiają się nowe odkrycia matematyczne…

Po pierwsze, sposoby są. Te sposoby jednak prowadzą do wartościowych wyników, twierdzeń i wzorów, ale mogą też prowadzić na manowce albo można otrzymać coś, co jest zupełnie bez sensu (chyba…).

Po drugie, na przetestowanie (sprawdzenie) działania tych sposobów w konkretnych przypadkach potrzeba dużo czasu i energii, co sprawia, że tworzenie matematyki nie jest takie szybkie, jakby się to mogło wydawać. Ponadto ludzie się mylą, co jeszcze utrudnia sam proces.

Nie a się więc co obawiać, że matematyka się skończy. Zresztą nowe rezultaty: twierdzenia, dowody, konstrukcje matematyczne, wzory itd. są często świetnym materiałem do kolejnych przemyśleń… i tak w nieskończoność (?).

A jakie to są sposoby?

Wymienię dwa: analogia i uogólnianie.

W przypadku analogii szukamy pewnych podobieństw ze znanym już problemem i metodą prób (i błędów) przenosimy na badany, nieznany problem. Na przykład można by się zastanowić nad tym, jakie ma własności sześcian w przestrzeni czterowymiarowej. Co by to mogło być? Najpierw musimy się zastanowić, jakie własności ma sześcian w przestrzeni trójwymiarowej. Być może będziemy musieli zastanowić się nad kwadratem w przestrzeni dwuwymiarowej. Własności, które odkryjemy, będziemy przenosić na hipersześcian w czwartym wymiarze. Nie widzimy w czwartym wymiarze, więc nasze odkrycia – przez analogię – są naszymi drogowskazami. Idąc tym sposobem myślenia, można zbadać własności hipersześcianu w przestrzeni pięciowymiarowej itd.

Wymyślać hipersześciany korepetycje matematyka Bielsko-Biała

Uogólnienie polegałoby na tym, że mając dany wymiar n przestrzeni, podajemy własności hipersześcianu w takiej przestrzeni w zależności od n. Możemy też uogólnić pojęcie odległości tak, by można je stosować w sytuacjach, w których ludzie dziwnie chodzą.

Co dalej?

Jeśli lubisz wymyślać albo nie lubisz, a chcesz spróbować, to zapraszam na zajęcia.

Artykuł o tej tematyce: Proces twórczy.