Funkcja kwadratowa z parametrem – desmos

Aby wyrobić sobie dobre intuicje, warto poeksperymentować. Matematyka – co do zasady – nie jest nauką eksperymentalną, jednak wykorzystanie programów pozwala „pomajstrować” nieco bez wykonywania żmudnych i długich obliczeń.

Jednym z takich zagadnień, gdzie eksperymentowanie może być ciekawe i odkrywcze, jest tak zwana funkcja (kwadratowa) z parametrem. Przykładem jest: $$y=(m-1)x^2+2x-1$$ Jeśli ustali się (na chwilę) wartość parametru \(m\), to otrzymamy funkcję (niekoniecznie kwadratową). Np. dla \(m=2\) $$y= x^2+2x-1$$ a dla \(m=1\) $$y= 2x-1$$

Swego czasu było to „obowiązkowe” zadanie na maturze z matematyki na poziomie rozszerzonym.

Eksperymenty można zrobić w dostępnym online darmowym programie desmos ( https://www.desmos.com/calculator ). Wystarczy wpisać wzór funkcji z parametrem i przesuwać suwakiem, jak się żywnie podoba, by zobaczyć pewne prawidłowości, reguły, odstępstwa bez obliczeń.

Oto wykresy – dla \(m=2\):

dla \(m=1\):

dla \(m=0,8\) (w notacji anglosaskiej \(0.8\) ):

Zadanie. Poekspermentuj. Dokonaj obserwacji. Postaw hipotezę. Sprawdź ją eksperymentalnie. Następnie – jeśli potrafisz – dokonaj stosownych obliczeń, by udowodnić lub obalić hipotezę.

Pytania naprowadzające na hipotezy do \( y=(m-1)x^2+2x-1 \):

1. Dla jakich wartości parametru \(m\) funkcja
   1. jest funkcją liniową?
   2. nie ma miejsc zerowych?
   3. ma dokładnie jedno miejsce zerowe?
   4. ma dwa dodatnie miejsca zerowe?
   5. ma dwa miejsca zerowe różnych znaków?
   6. ma dwa ujemne miejsca zerowe?
   7. ma dwa dodatnie miejsca zerowe?
2. Jeśli parabola jest smutna, to jaka jest największa wartość funkcji?
3. Jeśli funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, to czy można oszacować wartość jednego z miejsc zerowych?
4. Jeśli wykres funkcji nie przecina osi \(x\), to czy można oszacować miejsce przecięcia wykresu z osią \(y\)?

Wymyśl inne przykłady.

Oto moje sugestie:

1. \(y=(m^2-1)x^2-2x+1\)
2. \(y=(m^2-1)x^2-mx+1\)
3. \(y=(m^2-1)x^2-(m+1)x+1\)
4. \(y=(m^2-1)x^2-2x+m+1\)
5. \(y=(m^2-1)x^2-(m-1)x+m+1\)

Miłej i owocnej zabawy w odkrywanie 🙂

Podobne wpisy:

Funkcja kwadratowa w wolframalpha ( https://jaroslawjablonka.pl/funkcja-kwadratowa-w-wolframalpha/(otworzy się w nowej zakładce) )